Considerazioni sulla formula di Beale
William Beale osservò nel corso dei suoi studi come la potenza prodotta da una macchina di Stirling sia proporzionale alla pressione media del ciclo (P), alla frequenza di funzionamento della macchina (f) ed al volume spazzato dal pistone di potenza (V) tramite un opportuno coefficiente.
Walker battezzò tale coefficiente con il nome di Numero di Beale Bn.
Pertanto possiamo scrivere la seguente espressione per la potenza (W) prodotta da una macchina di Stirling:
William Beale osservò nel corso dei suoi studi come la potenza prodotta da una macchina di Stirling sia proporzionale alla pressione media del ciclo (P), alla frequenza di funzionamento della macchina (f) ed al volume spazzato dal pistone di potenza (V) tramite un opportuno coefficiente.
Walker battezzò tale coefficiente con il nome di Numero di Beale Bn.
Pertanto possiamo scrivere la seguente espressione per la potenza (W) prodotta da una macchina di Stirling:
Il Numero di Beale può essere posto pari a 0,15 utilizzando le unità di misura del S.I. per gli altri parametri della formula anche se per macchine di grandi dimensioni è presumibile un valore maggiore.
La seguente figura mostra la buona aderenza delle prestazioni di alcune macchine di diverso tipo e dimensione con quanto indicato dalla formula di Beale.
La linea tratteggiata indica le prestazioni previste utilizzando un numero di Beale pari a 0,15.
Una delle maggiori limitazioni della formula di Beale non è la sua ridotta precisione quanto il fatto di essere una formula descrittiva.
La formula in realtà ci dice come una macchina progettata e realizzata con cura ed esperienza svilupperà una determinata potenza massima (in realtà ci fornirà un valore alquanto indicativo di essa) una volta noto il prodotto tra frequenza, pressione e volume spazzato. Quindi, proprio per sua natura, la formula di Beale non dà alcuna indicazione su come disegnare e realizzare una macchina di Stirling, ma bensì garantisce l’ordine di grandezza delle prestazioni di una macchina ben disegnata e realizzata.
In realtà il Numero di Beale tutto è tranne che una costante: in sostanza racchiude le caratteristiche tecniche e tipologiche della macchina, la bontà con la quale essa è realizzata e progettata e in definitiva qualcosa di molto simile ad un’efficienza della macchina (che ricordiamo è, tra le altre cose, funzione delle temperature delle sorgenti di calore).
Proprio per questi motivi le diverse macchine possono avere valori del Numero di Beale diversi da 0,15. (Anzi, a rigore, una stessa macchina può avere diversi valori del Numero di Beale in base alle caratteristiche di funzionamento).
Per una macchina realizzata e dalle prestazioni misurate la formula di Beale può essere scritta nel seguente modo:
In questo modo il valore del Numero di Beale ottenuto può essere considerato (ovviamente si tratta di un’analisi semplificata) come una misura del grado di bontà progettuale e realizzativa della macchina. Macchine ben progettate saranno caratterizzate da un Numero di Beale elevato.
Ad aggiungere maggiore incertezza alle indicazioni fornite dalla formula di Beale, ma che allo stesso tempo ne conferma la correttezza concettuale, è la considerazione che la maggior parte delle macchine considerate da Beale operavano tra le temperature di 650 °C e 65 °C; la Formula di Beale (considerandone il valore di Bn pari a 0,15) non contiene alcuna indicazione sugli effetti delle temperature delle sorgenti di calore esterne proprio perché le macchine da lui considerate operavano in condizioni termiche simili. Tuttavia anche da una rapida analisi del ciclo ideale di Stirling si deduce l’importanza fondamentale delle temperature delle sorgenti.
Walker studiò il funzionamento di macchine operanti a diverse temperature e notò come il Numero di Beale sia in realtà dipendente da esse (come d’altra parte è confermato in base alle precedenti considerazioni e dalla termodinamica).
Nella seguente figura è riportato il Numero di Beale in funzione della temperatura dello scambiatore di calore caldo, a parità di temperatura dello scambiatore freddo (che è verosimilmente un parametro scarsamente variabile da macchina a macchina):
Come si vede è presente una ampia fascia di possibili valori per il Numero di Beale; essendo questo in sostanza legato al rendimento della macchina si possono considerare valori relativi alla parte alta del campo di variazione per macchine di alta qualità tecnologica.
Senf studiò gli effetti delle variazioni delle temperature sulle prestazioni delle macchine e propose la seguente espressione:
Il Numero di West Wn può essere posto pari a 0,35 il che comporta un Numero di Beale di 0,16 molto vicino a quello indicato dallo stesso Beale per le temperature Te=650°C e Tc=65°C. In realtà un valore di 0,25 risulta essere più corretto.
La correlazione di West è sicuramente più appropriata di quella di Beale ma ne condivide anche l’incertezza sulle prestazioni previste.
La formula di Beale è una formula estremamente interessante ma purtroppo di scarsa applicabilità se non per analisi semplificate.
Tuttavia è molto utile per dare delle indicazioni di massima come quelle proposte nei seguenti esempi.
Si ipotizzi di convertire un piccolo motore a combustione interna in una macchina di Stirling funzionante ad aria a bassa pressione con l’obiettivo di produrre potenze elevate.
Considerando di utilizzare due cilindri del diametro e dalla corsa di circa 5 cm (volume spazzato pari a 125 cm3) e di modificarlo inserendo opportuni scambiatori di calore caldo e freddo e rigeneratore in modo da funzionare come una macchina di Stirling.
Assumendo una pressione di 2 bar la potenza prodotta dalla macchina, considerando un Numero di Beale di media qualità pari a 0,15 (fermo restando le considerazioni fatte in precedenza) e una velocità di 1200 giri al minuto, è pari a:
In aggiunta a ciò bisogna considerare la possibilità che gli attriti meccanici assorbano una potenza simile se non maggiore al valore ottenuto riducendo ulteriormente la potenza utile sviluppata dalla macchina.
Partendo dagli stessi dati dell’esempio precedente ma aumentando il diametro del pistone fino a 10 cm si ottiene la potenza di 235,6 W. Tuttavia la scelta dei parametri costruttivi e funzionali del motore influenza il Numero di Beale che caratterizza il funzionamento di un dato motore.
Infatti come visto in precedenza il Numero di Beale può assumere valori superiori o inferiori rispetto a 0,15. Pertanto, almeno in linea teorica, con l’introduzione di soluzioni tecnologicamente avanzate e dimensionamenti ben eseguiti è possibili elevare la potenza ottenibile a parità dei parametri presenti nella formula di Beale fino ad esempio a un valore di 314 W (Nb=0,20); al contrario soluzioni meno raffinate e studiate possono limitare la potenza a 110 W (Nb=0,07).
A dire il vero l’utilità della formula di Beale in fase progettuale risulta limitata.
Anche assumendo di progettare e realizzare una macchina che garantisca un determinato valore del Numero di Beale (ad esempio 0,18 anche se come detto in precedenza Nb è un parametro che può essere valutato soltanto a macchina realizzata) e avendo fissato la potenza che si vuole ottenere e il volume spazzato (eventualmente come risultato di processi iterativi operati sulla formula di Beale), essendo questi sostanzialmente i primi dati di progetto, restano incognite la pressione media del ciclo e la frequenza di funzionamento della macchina. La pressione media del ciclo è difficilmente stimabile a priori (soprattutto se la geometria della macchina non è ancora stata completamente definita) ed è variabile a seconda delle diverse condizioni di funzionamento della macchina. Ipotizzando una pressione media del ciclo prossima alla pressione di carica della macchina (commettendo di fatto un errore) si potrebbe determinare la frequenza di funzionamento che garantisce le prestazioni volute.
Tuttavia la frequenza di funzionamento della macchina (influenzata tra le altre cose dalla pressione media del ciclo) dipende dal carico a cui è connessa la macchina e dalle condizioni termiche. In sostanza in fase progettuale applicando solamente le indicazioni della formula di Beale non si ha la certezza che la macchina raggiunga la voluta frequenza di funzionamento per il valore di potenza di progetto.
Nel caso di macchine free-piston l’utilità in fase progettuale della formula di Beale è ancora minore; in questo caso infatti nemmeno il volume spazzato dal pistone è un dato di progetto a causa dell’assenza del manovellismo. Si aggiunge quindi l’incognita del volume spazzato (eventualmente si potrebbe considerare il volume massimo che il pistone può spazzare) ed aumenta l’incertezza sul valore della frequenza di funzionamento. In particolare la corsa del pistone è un parametro che dipende dalle particolari condizioni progettuali e di funzionamento della macchina ed in particolare dal carico a cui essa è soggetta ed è difficilmente stimabile a priori.
In conclusione le indicazioni fornite dall’utilizzo della sola formula di Beale sono limitate; possono essere però utili per calcoli preliminari semplificati o per effettuare dei confronti tra macchine realizzate.
È interessante infine notare come le prestazioni della macchina dei fratelli Stirling realizzata nel 1834 e funzionante con aria siano decisamente buone avendo un Numero di Beale stimato di circa a 0,15!
La seguente figura mostra la buona aderenza delle prestazioni di alcune macchine di diverso tipo e dimensione con quanto indicato dalla formula di Beale.
La linea tratteggiata indica le prestazioni previste utilizzando un numero di Beale pari a 0,15.
Una delle maggiori limitazioni della formula di Beale non è la sua ridotta precisione quanto il fatto di essere una formula descrittiva.La formula in realtà ci dice come una macchina progettata e realizzata con cura ed esperienza svilupperà una determinata potenza massima (in realtà ci fornirà un valore alquanto indicativo di essa) una volta noto il prodotto tra frequenza, pressione e volume spazzato. Quindi, proprio per sua natura, la formula di Beale non dà alcuna indicazione su come disegnare e realizzare una macchina di Stirling, ma bensì garantisce l’ordine di grandezza delle prestazioni di una macchina ben disegnata e realizzata.
In realtà il Numero di Beale tutto è tranne che una costante: in sostanza racchiude le caratteristiche tecniche e tipologiche della macchina, la bontà con la quale essa è realizzata e progettata e in definitiva qualcosa di molto simile ad un’efficienza della macchina (che ricordiamo è, tra le altre cose, funzione delle temperature delle sorgenti di calore).
Proprio per questi motivi le diverse macchine possono avere valori del Numero di Beale diversi da 0,15. (Anzi, a rigore, una stessa macchina può avere diversi valori del Numero di Beale in base alle caratteristiche di funzionamento).
Per una macchina realizzata e dalle prestazioni misurate la formula di Beale può essere scritta nel seguente modo:
In questo modo il valore del Numero di Beale ottenuto può essere considerato (ovviamente si tratta di un’analisi semplificata) come una misura del grado di bontà progettuale e realizzativa della macchina. Macchine ben progettate saranno caratterizzate da un Numero di Beale elevato.Ad aggiungere maggiore incertezza alle indicazioni fornite dalla formula di Beale, ma che allo stesso tempo ne conferma la correttezza concettuale, è la considerazione che la maggior parte delle macchine considerate da Beale operavano tra le temperature di 650 °C e 65 °C; la Formula di Beale (considerandone il valore di Bn pari a 0,15) non contiene alcuna indicazione sugli effetti delle temperature delle sorgenti di calore esterne proprio perché le macchine da lui considerate operavano in condizioni termiche simili. Tuttavia anche da una rapida analisi del ciclo ideale di Stirling si deduce l’importanza fondamentale delle temperature delle sorgenti.
Walker studiò il funzionamento di macchine operanti a diverse temperature e notò come il Numero di Beale sia in realtà dipendente da esse (come d’altra parte è confermato in base alle precedenti considerazioni e dalla termodinamica).
Nella seguente figura è riportato il Numero di Beale in funzione della temperatura dello scambiatore di calore caldo, a parità di temperatura dello scambiatore freddo (che è verosimilmente un parametro scarsamente variabile da macchina a macchina):
Come si vede è presente una ampia fascia di possibili valori per il Numero di Beale; essendo questo in sostanza legato al rendimento della macchina si possono considerare valori relativi alla parte alta del campo di variazione per macchine di alta qualità tecnologica.Senf studiò gli effetti delle variazioni delle temperature sulle prestazioni delle macchine e propose la seguente espressione:
Il Numero di West Wn può essere posto pari a 0,35 il che comporta un Numero di Beale di 0,16 molto vicino a quello indicato dallo stesso Beale per le temperature Te=650°C e Tc=65°C. In realtà un valore di 0,25 risulta essere più corretto.La correlazione di West è sicuramente più appropriata di quella di Beale ma ne condivide anche l’incertezza sulle prestazioni previste.
La formula di Beale è una formula estremamente interessante ma purtroppo di scarsa applicabilità se non per analisi semplificate.
Tuttavia è molto utile per dare delle indicazioni di massima come quelle proposte nei seguenti esempi.
Si ipotizzi di convertire un piccolo motore a combustione interna in una macchina di Stirling funzionante ad aria a bassa pressione con l’obiettivo di produrre potenze elevate.
Considerando di utilizzare due cilindri del diametro e dalla corsa di circa 5 cm (volume spazzato pari a 125 cm3) e di modificarlo inserendo opportuni scambiatori di calore caldo e freddo e rigeneratore in modo da funzionare come una macchina di Stirling.
Assumendo una pressione di 2 bar la potenza prodotta dalla macchina, considerando un Numero di Beale di media qualità pari a 0,15 (fermo restando le considerazioni fatte in precedenza) e una velocità di 1200 giri al minuto, è pari a:
In aggiunta a ciò bisogna considerare la possibilità che gli attriti meccanici assorbano una potenza simile se non maggiore al valore ottenuto riducendo ulteriormente la potenza utile sviluppata dalla macchina.Partendo dagli stessi dati dell’esempio precedente ma aumentando il diametro del pistone fino a 10 cm si ottiene la potenza di 235,6 W. Tuttavia la scelta dei parametri costruttivi e funzionali del motore influenza il Numero di Beale che caratterizza il funzionamento di un dato motore.
Infatti come visto in precedenza il Numero di Beale può assumere valori superiori o inferiori rispetto a 0,15. Pertanto, almeno in linea teorica, con l’introduzione di soluzioni tecnologicamente avanzate e dimensionamenti ben eseguiti è possibili elevare la potenza ottenibile a parità dei parametri presenti nella formula di Beale fino ad esempio a un valore di 314 W (Nb=0,20); al contrario soluzioni meno raffinate e studiate possono limitare la potenza a 110 W (Nb=0,07).
A dire il vero l’utilità della formula di Beale in fase progettuale risulta limitata.
Anche assumendo di progettare e realizzare una macchina che garantisca un determinato valore del Numero di Beale (ad esempio 0,18 anche se come detto in precedenza Nb è un parametro che può essere valutato soltanto a macchina realizzata) e avendo fissato la potenza che si vuole ottenere e il volume spazzato (eventualmente come risultato di processi iterativi operati sulla formula di Beale), essendo questi sostanzialmente i primi dati di progetto, restano incognite la pressione media del ciclo e la frequenza di funzionamento della macchina. La pressione media del ciclo è difficilmente stimabile a priori (soprattutto se la geometria della macchina non è ancora stata completamente definita) ed è variabile a seconda delle diverse condizioni di funzionamento della macchina. Ipotizzando una pressione media del ciclo prossima alla pressione di carica della macchina (commettendo di fatto un errore) si potrebbe determinare la frequenza di funzionamento che garantisce le prestazioni volute.
Tuttavia la frequenza di funzionamento della macchina (influenzata tra le altre cose dalla pressione media del ciclo) dipende dal carico a cui è connessa la macchina e dalle condizioni termiche. In sostanza in fase progettuale applicando solamente le indicazioni della formula di Beale non si ha la certezza che la macchina raggiunga la voluta frequenza di funzionamento per il valore di potenza di progetto.
Nel caso di macchine free-piston l’utilità in fase progettuale della formula di Beale è ancora minore; in questo caso infatti nemmeno il volume spazzato dal pistone è un dato di progetto a causa dell’assenza del manovellismo. Si aggiunge quindi l’incognita del volume spazzato (eventualmente si potrebbe considerare il volume massimo che il pistone può spazzare) ed aumenta l’incertezza sul valore della frequenza di funzionamento. In particolare la corsa del pistone è un parametro che dipende dalle particolari condizioni progettuali e di funzionamento della macchina ed in particolare dal carico a cui essa è soggetta ed è difficilmente stimabile a priori.
In conclusione le indicazioni fornite dall’utilizzo della sola formula di Beale sono limitate; possono essere però utili per calcoli preliminari semplificati o per effettuare dei confronti tra macchine realizzate.
È interessante infine notare come le prestazioni della macchina dei fratelli Stirling realizzata nel 1834 e funzionante con aria siano decisamente buone avendo un Numero di Beale stimato di circa a 0,15!
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