LA TEORIA DI SCHMIDT PER MACCHINE A CICLO STIRLING
La teoria di Schmidt è stata il primo esempio completo di modello fisico matematico per la descrizione del funzionamento di una macchina di Stirling. La teoria sviluppata da Gustav Schmidt e pubblicata nel 1871, nonostante la presenza di alcune ipotesi non realistiche, è un metodo utile e semplice per valutare le prestazioni di una macchina a ciclo Stirling. Ovviamente la semplicità analitica è accompagnata da una ridotta affidabilità dei risultati che si ottengono da essa; infatti le prestazioni reali e quelle calcolate sono in un rapporto prossimo a 0,35.
Le ipotesi alla base della teoria sono le seguenti:
1-si trascurano tutte le perdite per attrito tra organi in moto relativo;
2-non si verificano fughe di gas;
3-il moto dei pistoni è sinusoidale;
4-il regime di funzionamento della macchina è stazionario;
5-le trasformazioni subite dal fluido sono reversibili;
6-non si verificano perdite di carico nel moto del fluido;
7-la pressione istantanea è la stessa in tutta la massa di fluido;
8-la compressione e l’espansione del fluido è isoterma;
9-perfetta rigenerazione;
Considerando una macchina in configurazione alfa le leggi di variazione dei volumi di compressione ed espansione sono le seguenti:
Le ipotesi alla base della teoria sono le seguenti:
1-si trascurano tutte le perdite per attrito tra organi in moto relativo;
2-non si verificano fughe di gas;
3-il moto dei pistoni è sinusoidale;
4-il regime di funzionamento della macchina è stazionario;
5-le trasformazioni subite dal fluido sono reversibili;
6-non si verificano perdite di carico nel moto del fluido;
7-la pressione istantanea è la stessa in tutta la massa di fluido;
8-la compressione e l’espansione del fluido è isoterma;
9-perfetta rigenerazione;
Considerando una macchina in configurazione alfa le leggi di variazione dei volumi di compressione ed espansione sono le seguenti:
essendo e l’angolo di manovella, scelto pari a zero quando è massimo il volume di compressione, ed alfa l’angolo di sfasamento tra le variazioni dei volumi di compressione ed espansione.
Vswc e Vswe sono i volumi spazzati per lo spazio di compressione e di espansione mentre Vdc e Vde sono i relativi volumi morti.
Dalla conservazione della massa di fluido per gli spazi di espansione e compressione, per gli scambiatori di calore caldo e freddo (h e k) e del rigeneratore (r) si ottiene l’espressione per la pressione del fluido:
Vswc e Vswe sono i volumi spazzati per lo spazio di compressione e di espansione mentre Vdc e Vde sono i relativi volumi morti.
Dalla conservazione della massa di fluido per gli spazi di espansione e compressione, per gli scambiatori di calore caldo e freddo (h e k) e del rigeneratore (r) si ottiene l’espressione per la pressione del fluido:
Sostituendo le espressioni di Vc e Ve si ottiene:
Facendo le seguenti sostituzioni:
si ottiene l’espressione per la pressione:
I valori massimi, minimi e medi della pressione sono: 
L’espressione per il lavoro di compressione, di espansione e per il lavoro utile sono le seguenti:
Che integrate sostituendo le espressioni trovate per la pressione e la variazione dei volumi di compressione ed espansione danno: 
Il rendimento della macchina è: 
e sostituendo l’espressione per beta si ottiene: 
pari all’efficienza di Carnot. Questo risultato è la diretta conseguenza delle ipotesi effettuate in precedenza, in particolare il comportamento ideale del fluido ed il comportamento isoterma delle trasformazioni di compressione ed espansione.
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